Математика игра одлучујућу улогу у разумевању понашања и рада електрични и електронски системи . Полиноми, алгебра, вероватноћа, интеграције и диференцијације итд ... чине значајан део алата који се користе за решавање система. Са све већом сложеношћу система, потребне су врло софистициране методе. Диференцијалне једначине се видно користе за дефинисање система управљања. Ове једначине је једноставно решити. Али сложеност настаје током решавања диференцијалних једначина вишег реда. Да би се решиле тако сложене диференцијалне једначине вишег реда, математичка метода која се показала ефикасном је Лаплацеова трансформација . Како се ова трансформација широко користи, корисно је знати за шта су заиста значили и како раде.

Шта је Лапласова трансформација?

У математици се примењују трансформације за трансформисање променљиве из једног облика у други да би се олакшало управљање једначином. Лаплацеова трансформација углавном ради исто. Они трансформишу диференцијалну једначину вишег реда у полиномски облик што је далеко лакше од директног решавања диференцијалне једначине.

Али постоје разне трансформације попут Фоуриерове трансформације, з трансформише оно што Лаплацеову трансформацију чини посебном? Главна предност Лапласове трансформације је у томе што су дефинисане и за стабилне и за нестабилне системе, док су Фуријеове трансформације дефинисане само за стабилне системе.

Лаплацеова формула трансформације

Лапласова трансформација функције ф (т) у временској домени, где је т стварни број већи или једнак нули, дата је као Ф (с), где постоји с је комплексни број у фреквенцијском домену, тј. с = σ + јω
Горња једначина се сматра као једнострано Једначина Лаплацеове трансформације . Када се ограничења прошире на целу стварну осу, тада се Билатерална Лапласова трансформација може се дефинисати као
У практичним круговима попут РЦ и РЛ кола обично се користе почетни услови, па се у сврху анализе примењују једностране Лапласове трансформације.
Како је с = σ + јω, када је σ = 0 Лаплацеова трансформација понаша се као Фуријеова трансформација.

“шта ради контролна јединица ”

Лаплацеове формуле трансформације

Услови за примењивост Лаплацеове трансформације

Лапласове трансформације називају се интегралне трансформације, тако да постоје неопходни услови за конвергенцију ових трансформација.
тј. ф мора бити локално интегрисан за интервал [0, ∞) и у зависности од тога да ли је σ позитиван или негативан, е ^ (- σт) може пропадати или расти. За билатералне Лаплацеове трансформације, а не једну вредност, интеграл конвергира у одређеном опсегу вредности познатом као Регион конвергенције.

Својства Лаплацеове трансформације:

Линеарност

Тиме Схифтинг

Промена у С-домену

Преокрет времена

Диференцијација у С-домену

Конволуција у времену

Теорема почетне вредности

Теорема о почетној вредности примењује се када је у Лаплацеовој трансформацији степен бројила мањи од степена називника Теорема коначне вредности:

Ако се сви полови сФ (с) налазе у левој половини теореме коначне вредности С-равни.

Инверзна Лапласова трансформација

Због карактеристике конвергенције Лапласове трансформације имају и инверзну трансформацију. Лапласове трансформације показују мапирање један-на-један из једног функционалног простора у други. Формула за инверзну Лаплацеову трансформацију је

“разлика ац и дц ”

Како израчунати Лаплацеову трансформацију?

Лапласова трансформација чини једначине једноставнијим за руковање. Када је дата диференцијална једначина вишег реда, на њу се примењује Лаплацеова трансформација која претвара једначину у алгебарску једначину, што олакшава руковање. Затим израчунавамо корене поједностављењем ове алгебарске једначине. Сада је пронађена инверзна Лапласова трансформација једноставнијег израза која решава дату диференцијалну једначину вишег реда.

Лапласова калкулација трансформације

Примене Лаплацеове трансформације

Анализа електричних и електронских кола .
Разбијање сложених диференцијалних једначина на једноставније полиномске форме.
Лапласова трансформација даје информације о постојаним, као и о привременим стањима.
У машинском учењу, Лаплацеова трансформација користи се за предвиђање и анализу у рударству података.
Лаплацеова трансформација поједностављује прорачуне у моделовању система.

Примена Лаплацеове трансформације у обради сигнала

Лапласове трансформације су често одабране за обраду сигнала. Заједно са Фуријеовом трансформацијом, Лапласова трансформација користи се за проучавање сигнала у фреквенцијском домену. Када су у фреквенцијском домену мале фреквенције у сигналу онда се може очекивати да ће сигнал бити гладак у временском домену. Филтрирање сигнала обично се врши у фреквенцијском домену за који Лаплаце делује као важан алат за претварање сигнала из временског домена у фреквенцијски домен.

Примена Лаплацеове трансформације у системима управљања

Контролни системи су обично дизајнирани за контролу понашања других уређаја. Пример контролни системи може се кретати од једноставног регулатора за грејање куће до индустријског система управљања који регулише понашање машина.

Генерално, инжењери управљања користе диференцијалне једначине за описивање понашања различитих функционалних блокова затворене петље. Лапласова трансформација се овде користи за решавање ових једначина без губитка пресудних променљивих информација.

Карактеризација линеарних временски непроменљивих система помоћу Лаплацеове трансформације

За случајни РОЦ систем повезан са системом, функција је десна половина. Систем је анти-цасуал случај ако је његов импулсни одзив х (т) = 0 за т> 0.

Ако РОЦ системских функција Х (с) укључује јω осу, тада Л.Т.И. систем се назива стабилним системом. Ако случајни систем са рационалним системским функцијама Х (с) има негативне реалне делове за све своје полове, онда је систем стабилан.

Стога је Лаплацеова трансформација пресудан алат за анализу кола. Можемо рећи као што је стетоскоп лекару Лаплацеова трансформација контролном инжењеру. Шта сматрате Лаплацеовом трансформацијом? На који начин су вам били од помоћи?